Cechy Inwestycji Finansowych - DOCHÓD

stopa dochodu

Stopa dochodu

Najważniejszymi cechami inwestycji finansowych są dochód, ryzyko i płynność. Podstawową miarą dochodu jest stopa dochodu, zwana również stopą zwrotu lub stopą rentowności. Stopa ta jest zazwyczaj podawana w skali rocznej, ale może dotyczyć dowolnego okresu inwestowania.

Najprostszym sposobem wyznaczania stopy dochodu jest obliczenie prostej stopy dochodu według następującego wzoru:

gdzie:
r – stopa dochodu z inwestycji;
FV – wartość końcowa inwestycji;
PV – wartość początkowa inwestycji;
n – liczba lat trwania inwestycji.

Najczęściej wzór ten znajduje zastosowanie w przypadku krótszych okresów inwestowania (zazwyczaj do roku). Może on być zastosowany zarówno w odniesieniu do inwestycji prostej, jak i do inwestycji kuponowej (czyli takiej, która przynosi przepływy pieniężne w okresie trwania inwestycji). W tym drugim przypadku wartość końcowa inwestycji obejmuje nie tylko wzrost kapitału, lecz również reinwestowane dochody w trakcie trwania inwestycji. Dochody te zależą od stopy reinwestowania, czyli od stopy procentowej, po jakiej są reinwestowane przepływy pieniężne otrzymywane w okresie trwania inwestycji. 

Problem określania prostej stopy dochodu ilustrują poniższe przykłady.

Przykład 1.
1. Kwota 1.000 zł zainwestowana na rok w depozyt terminowy oprocentowany na 6% daje wartość końcową 1.060 zł.

Stopa dochodu tej inwestycji wynosi: (1.060 – 1.000) / 1.000 = 6%.

2. Kwota 1.000 zł zainwestowana na pół roku w depozyt terminowy oprocentowany na 6% daje po pół roku wartość równą 1.030 zł. Kwota ta zainwestowana na następne pół roku w ten sam depozyt oprocentowany na 6% daje po roku wartość końcową 1.060,90 zł.
Stopa dochodu tej inwestycji wynosi: (1.060,90 – 1.000) / 1.000 = 6,09%.

3. Kwota 1.000 zł zainwestowana na pół roku w depozyt terminowy oprocentowany na 6% daje po pół roku wartość równą 1.030 zł. Kwota ta zainwestowana na następne pół roku w ten sam depozyt oprocentowany na 5% daje po roku wartość końcową 1.055,75 zł.

Stopa dochodu tej inwestycji wynosi: (1.055,75 – 1.000) / 1.000 = 5,575%.

Podobnie za pomocą wzoru (1) oblicza się stopę dochodu inwestycji kuponowej, z tym że istotna jest stopa reinwestowania, tzn. stopa po jakiej inwestowane są dochody uzyskiwane w trakcie trwania inwestycji.

Przykład 2.
Kwota 1.000 zł jest inwestowana w lokatę kwartalną, odnawianą co kwartał przez okres roku. Oprocentowanie wynosi 10% i nie zmienia się przez cały czas. Stopa dochodu z tej inwestycji zależy od zainwestowania uzyskiwanych co kwartał odsetek. Rozpatrzmy trzy sytuacje:

Sytuacja 1. Odsetki doliczane są do kapitału, zwiększając wartość depozytu. W takim przypadku wartość końcowa inwestycji jest sumą następujących składników:

1. Kapitał po upływie roku: 1.000 zł.
2. Odsetki uzyskane po pierwszym kwartale (równe 25 zł), zainwestowane na trzy następne kwartały po stopie 10% (2,5% kwartalnie): 25 x 1,025 x 1,025 x 1,025) = 26,92 zł.
3. Odsetki uzyskane po drugim kwartale (równe 25 zł), zainwestowane na dwa następne kwartały po stopie 10% (2,5% kwartalnie): 25 x 1,025 x 1,025 = 26,27 zł.
4. Odsetki uzyskane po trzecim kwartale (równe 25 zł), zainwestowane na następny kwartał po stopie 10% (2,5% kwartalnie): 25 x 1,025 = 25,62 zł.
5. Odsetki uzyskane po czwartym kwartale wynoszą 25 zł.

Wartość końcowa wynosi 1.103,81 zł.
Stopa dochodu tej inwestycji wynosi: (1.103,81 – 1.000) / 1.000 = 10,38%.

Sytuacja 2. Odsetki inwestowane są w akcje dające 6% dochodu kwartalnie. W takim przypadku wartość końcowa inwestycji jest sumą następujących składników:

1. Kapitał po upływie roku: 1.000 zł.
2. Odsetki uzyskane po pierwszym kwartale (równe 25 zł), zainwestowane na trzy następne kwartały po stopie 6% kwartalnie: 25 x 1,06 x 1,06 x 1,06 = 29,78 zł.
3. Odsetki uzyskane po drugim kwartale (równe 25 zł), zainwestowane na dwa następne kwartały po stopie 6% kwartalnie: 25 x 1,06 x 1,06 = 28,09 zł.
4. Odsetki uzyskane po trzecim kwartale (równe 25 zł), zainwestowane na następny kwartał po stopie 6% kwartalnie: 25 x 1,06 = 26,50 zł.
5. Odsetki uzyskane po czwartym kwartale wynoszą 25 zł.

Wartość końcowa wynosi 1.109,37 zł.
Stopa dochodu tej inwestycji wynosi: (1.109,37 – 1.000) / 1.000 = 10,94%.

Sytuacja 3. Odsetki przeznaczane są na bieżącą konsumpcję (stopa reinwestowania wynosi 0%). W takim przypadku wartość końcowa inwestycji jest sumą następujących składników:

1. Kapitał po upływie roku: 1.000 zł.
2. Odsetki uzyskane po pierwszym kwartale: 25 zł.
3. Odsetki uzyskane po drugim kwartale: 25 zł.
4. Odsetki uzyskane po trzecim kwartale: 25 zł.
5. Odsetki uzyskane po czwartym kwartale: 25 zł.

Wartość końcowa wynosi 1.100 zł, co daje stopę dochodu równą: (1.100 – 1.000) / 1.000 = 10%.

Jak widać z Przykładu 2 na stopę dochodu inwestycji ma również wpływ stopa reinwestowania dochodów (przepływów pieniężnych) uzyskanych w trakcie trwania inwestycji.
Drugim sposobem określania stopy dochodu jest obliczenie efektywnej stopy dochodu według następującego wzoru (oznaczenia takie same, jak we wzorze (1)):

Wzór (2) różni się od wzoru (1) tym, iż zakłada się w nim, że okresem reinwestowania jest rok. Oznacza to, że punktem odniesienia przy porównywaniu stóp dochodu różnych inwestycji są inwestycje z rocznym okresem reinwestowania. Wzór powyższy zazwyczaj jest stosowany przy inwestycjach o horyzoncie co najmniej rocznym.

Przykład 3.
Kwota 1.000 zł jest zainwestowana w lokatę dwuletnią, której oprocentowanie wynosi 6% (w skali rocznej). W trakcie trwania inwestycji nie występuje kapitalizacja odsetek, czyli brak jest reinwestowania. Po dwóch latach suma na lokacie wynosi 1.120 zł. Wyznaczona za pomocą wzoru (2) efektywna stopa dochodu wynosi:

Z Przykładu 3 wynika, że stopa dochodu jest niższa od oprocentowania (wynoszącego 6%). Spowodowane jest to faktem, iż inwestycja ta jako punkt odniesienia ma inwestycje o rocznym okresie reinwestowania. Innymi słowy do uzyskania końcowej wartości inwestycji przy rocznym okresie reinwestowania „wystarczy” stopa 5,38% (a nie 6%).

Następny przykład ilustruje wyznaczanie efektywnej stopy dochodu, gdy inwestycja przynosi przepływy pieniężne w trakcie jej trwania, a przepływy te są reinwestowane.

Przykład 4.
Kwota 1.000 zł jest inwestowana na okres dwóch lat, przy czym po roku otrzymujemy przepływ pieniężny w wysokości 150 zł, zaś po dwóch latach przepływ pieniężny w wysokości 1.200 zł. Stopa dochodu z tej inwestycji zależy od zainwestowania uzyskanej po pierwszym roku sumy pieniężnej. 

Rozpatrzmy dwie sytuacje:

Sytuacja 1. Gdy stopa reinwestowania wynosi 5%, wtedy wartość końcowa inwestycji jest sumą następujących składników:

1. Przepływ pieniężny w wysokości 150 zł, uzyskany po pierwszym roku i zainwestowany na następny rok po stopie 5%: 150 x 1,05 = 157,50 zł.
2. Przepływ pieniężny po drugim roku: 1.200 zł.

Wartość końcowa inwestycji wynosi zatem: 1.357,50 zł.

Po podstawieniu do wzoru (2), otrzymujemy efektywną stopę dochodu tej inwestycji:

Sytuacja 2. Gdy stopa reinwestowania wynosi 10%, wtedy wartość końcowa inwestycji jest sumą następujących składników:

1. Przepływ pieniężny w wysokości 150 zł, uzyskany po pierwszym roku i zainwestowany na następny rok po stopie 10%: 150 x 1,1 = 165 zł.

2. Przepływ pieniężny po drugim roku: 1.200 zł.

Wartość końcowa inwestycji wynosi zatem: 1.365 zł.

Po podstawieniu do wzoru (2), otrzymujemy efektywną stopę dochodu tej inwestycji:

Podobnie jak w Przykładzie 2, tak i tutaj stopa dochodu zależy od stóp reinwestowania przepływów pieniężnych uzyskanych w trakcie trwania inwestycji.

Podstawowe własności stopy dochodu

• Im wyższa stopa oprocentowania instrumentu, tym wyższa stopa dochodu z inwestycji.
• Im częstsze reinwestowanie (kapitalizacja), tym wyższa stopa dochodu.
• Im wyższa stopa reinwestowania, tym wyższa stopa dochodu.
• Najmniejsza możliwa wartość stopy dochodu wynosi minus 100% – występuje ona w przypadku utraty całego zainwestowanego kapitału.
• Maksymalna możliwa wartość stopy dochodu nie jest ograniczona.

Podamy teraz sposób obliczania dochodu z całego okresu inwestowania, w sytuacji gdy znane są stopy dochodu uzyskane w poszczególnych okresach. Zastosowanie ma tutaj następujący wzór:

gdzie:

n – liczba okresów trwania inwestycji;

rt , t = 1, 2, ..., n - stopa dochodu w okresie t, wyrażona w skali tego okresu (niekoniecznie w skali rocznej);

pozostałe oznaczenia – jak poprzednio.

Przykład 5.

Zainwestowana została kwota 500 zł na cztery lata. W kolejnych latach inwestycja ta przyniosła następujące stopy dochodu: 5%, 12%, –6%, 10%. Zauważmy, że w trzecim roku inwestycja przynosiła stratę. Po zastosowaniu wzoru (3), otrzymujemy wartość końcową inwestycji:

Omówimy teraz trzy szczegółowe zagadnienia związane z wyznaczaniem stopy dochodu, tj. kwestię inwestycji w walucie zagranicznej, podatku oraz inflacji.

Stopa dochodu z inwestycji w walucie zagranicznej (problem kursu walutowego)

W przypadku inwestycji dokonywanej w walucie zagranicznej przy wyznaczaniu stopy dochodu znaczenie ma to, jak w okresie inwestycji zmienił się kurs walutowy. W takiej sytuacji do wyznaczenia stopy dochodu z inwestycji stosowany jest następujący wzór:

r = rf + rs + rf rs (4)

gdzie:

r – stopa zwrotu z inwestycji zagranicznej, wyznaczona w walucie krajowej;

rf – stopa zwrotu z inwestycji zagranicznej, wyznaczona w walucie zagranicznej;

rs – względna zmiana kursu walutowego (wyrażonego jako liczba jednostek waluty krajowej za jednostkę waluty zagranicznej).

Przykład 6.

Polski inwestor dokonał inwestycji w euro. Wartość początkowa inwestycji wynosiła 10.000 euro. W momencie początkowym kurs euro wynosił 4 zł, a zatem inwestor zainwestował 40.000 zł. Wartość końcowa inwestycji po roku

11.000 euro, co oznacza stopę dochodu (liczoną jako prosta stopa dochodu) równą 10%. Jednak w momencie końcowym inwestycji kurs euro wynosił 4,15 zł. Wyrażona w złotych wartość końcowa inwestycji wynosi 45.650 zł (11.000×4,15). Wobec tego stopa dochodu z inwestycji (wyznaczona jako prosta stopa dochodu) wynosi:

(45.650 – 40.000) / 40.000 = 14,12%

Jak widać, ze względu na wzrost kursu euro, stopa dochodu wyrażona w złotych jest wyższa niż stopa dochodu wyrażona w euro. Warto zauważyć, że taki sam wynik uzyskuje się bezpośrednio przy zastosowaniu wzoru (4). Względna zmiana kursu walutowego wynosi:

(4,15 – 4,00) / 4,00 = 3,75%

Wobec tego stopa dochodu inwestycji wynosi (zgodnie ze wzorem (4)):

r = 0,1 + 0,0375 + 01 x 0,0375 = 0,1412 = 14,12%

Przykład 6 pokazuje, iż w przypadku inwestycji w walucie zagranicznej niewielkie zmiany kursu walutowego mogą mieć istotny wpływ na stopę dochodu.

Stopa dochodu po opodatkowaniu

Prostym sposobem uwzględnienia wpływu opodatkowania na dochód z inwestycji jest pomniejszenie wartości końcowej inwestycji o zapłacony podatek i wyznaczenie wtedy stopy dochodu – jest to tzw. stopa dochodu po opodatkowaniu. Można również określić tę stopę w sposób bezpośredni z zastosowaniem następującego wzoru:

rt = r (1 – t) (5)

gdzie:

rt – stopa dochodu po opodatkowaniu;

r – stopa dochodu przed opodatkowaniem;

t – stopa podatkowa.

Przykład 7.

Inwestor płaci podatek od dochodów z inwestycji według stopy podatkowej równej 19%. Inwestycja, której wartość początkowa wynosiła 10.000 zł, przyniosła dochód 20% i jej wartość końcowa wynosi 12.000 zł. Jednak od osiągniętego dochodu wynoszącego 2.000 zł należy zapłacić podatek wynoszący 380 zł. Oznacza to, że po uwzględnieniu podatku wartość końcowa inwestycji wynosi 12.000 zł – 380 zł = 11.620 zł, co oznacza stopę zwrotu po opodatkowaniu równą 16,2%. Taki sam wynik daje bezpośrednie zastosowanie wzoru (5):

rt = 0,2 x (1 – 0,19) = 0,162 = 16,2%

Realna stopa dochodu (problem stopy inflacji)

Czasem inwestor jest zainteresowany obliczeniem, jaką realną stopę dochodu uzyskał, tzn. jaką korzyść przyniosła inwestycja z uwzględnieniem zmiany siły nabywczej. Wzór określający realną stopę dochodu jest następujący:

gdzie:

r – stopa dochodu;

rr – realna stopa dochodu;

ri – stopa inflacji.

Przykład 8.

Inwestor uzyskał stopę dochodu z inwestycji wynoszącą 8%. W okresie inwestycji stopa inflacji wyniosła 2,4%. Realna stopa dochodu wynosi:

Teraz przedstawimy przykład łączący omówione trzy problemy.

Przykład 9.

Polski inwestor zainwestował na rok kwotę 40.000 zł – jest to inwestycja w euro. W momencie początkowym kurs euro wynosił 4 zł, a zatem wartość początkowa inwestycji wynosiła 10.000 euro. Wartość końcowa tej inwestycji wynosi 12.000 euro. W momencie końcowym kurs walutowy wynosił 1 euro = 3,9 zł. Wynika z tego, że względna zmiana kursu walutowego wynosiła 2,5%. Wiadomo również, że inwestor płaci od tej inwestycji podatek w Polsce według stopy 19%, zaś w ciągu okresu inwestycji stopa inflacji w Polsce wyniosła 2,5%. Inwestor chce określić realną stopę dochodu z tej inwestycji. W pierwszym etapie określamy stopę dochodu z tej inwestycji wyrażoną w polskiej walucie:'

r = 0,2 – 0,025 – 0,2 x 0,025 = 0,17 = 17%

W drugim etapie określamy stopę dochodu z inwestycji po opodatkowaniu:

rt = 0,17 x (1 – 0,19) = 0,1377 = 13,77%

W trzecim etapie określamy realną stopę dochodu:

Przykład 9 pokazuje, że realna stopa dochodu różni się znacznie od stopy dochodu inwestycji w obcej walucie.